Rasyonel Sayılar

Konu: Rasyonel Sayılar Perş. Ekim 09, 2008 2:18 pm

RASYONEL SAYILAR

Mısırlılarda Kesirler• Mısırlılar kesirleri paydaları 1 olacak şekilde sınırlandırmışlardır.• Herhangi bir pozitif rasyonel sayı; pozitif tam sayıların çarpmaya göre terslerinin toplamı şeklinde ifade edilebilir. 1 2 Yukarıdaki örnekler gibi herhangi bir rasyonel sayının sınırsızca bir çok temsili vardır. Bu ifadeler Eski Mısırlılar tarafından kullanıldığı için, Mısır Kesirleri olarak adlandırılır. Bu hiyeroglifler ağızdan çıkan bir harfe (R) çevrilmiş ve kullanılmıştır. Bu yüzden yukarıdaki kesir şeklinde ifade edilmiştir.Kesirler Ve RomalılarRomalılar subunitlerin yerine kesirleri kullanmaktan kaçınmışlardır. Ayakları zerrelere (yani ayak hesabını, parmak hesabına ) Pound’ ları da Ounc’ lara bölmüşlerdir. 1 Pound = 454 gram, 1 Ounc= 28,3 gram 1 Pound = 16 Ouncve Romalıların 1 parçasının adı Uncia’dır. Bu da 340 gcrama tekabül eder. Rasyonel Sayılar ve YunanlılarYunanlılar Rasyonel sayıları gerçekten çok seviyorlardı. Abartısız olarak Yunanlıların Rasyonel Sayılara taptığı söyleniyor. Pisagor tarafından bulunan klişe şu idi. Dünya güzeldi çünkü onun yapısı ve işleyişi tam sayıların oranı olarak, matematiksel olarak ifade ediliyordu. Geometrik ifadelerin her zaman rasyonel sayılar biçimde ifade edilmesi, Pisagor’un mantığının temel ilkelerinden biriydi. Kenar uzunluğu bir olan karenin köşegenin bir rasyonel sayı olmadığı anlaşıldıktan sonra bu klişenin güvenirliği azaldı. 1 1 1 1Yunanlılar bu bilgiyi sır olarak saklamaya çalıştılar. Çünkü bu onları utandırıyordu. Bütün uzunluklar Rasyonel sayılarla ifade edilemiyordu. Rasyonel sayılar oranları ve paylaşımları ölçmede yeterli olmasına rağmen uzunlukları ifade de yetersizdi. Bu amaç için yeni bir sayı sistemi kurmak gerekliydi. İkinin karekökü bu sayı sistemine bir örnektir. İkinin karekökü Yunanlılar tarafından bulunan bir sayı değildi.TARİHSEL NOTLARKesirArapçada kesir anlamına gelen “al-kasr” kelimesi Latince’ deki kırmak anlamına gelen “fractus” kelimesinden türetilmiştir. İngilizce’ deki kesir kelimesi 1321 yılında ilk kez Chavcer tarafından kullanılmıştır.“ Kesir çizgisi payın üste, paydanın alta yazıldığı ufak bir çizgidir.” der.Bölme Sembolü ( )Bölme sembolü; John Wallis (1616-1703) yılında adapte edilmiş , İngiltere’ de ve Amerika’ da kullanılmıştır. (fakat Avrupa’ da (iki nokta üst üste kullanılıyordu.) 1923 yılında, Matematik Komitesi açıkladı ki: ne : ne de  işaretleri tam olarak kullanılıyor veya kullanılmıyor.Bölüm (-) işaretinin iş hayatında çok önemli bir anlamı olmadığına göre bunu matematiğe (kesirli ifadelere ) adapte edelim ve noktaların arasında “/ ” ‘ u kullanalım. Bundan sonra  işareti matematiksel bir ifade haline dönüştü.RASYONEL SAYILARTarihsel olarak, bölme işlemi için gerekli olan kapanma kümesi, çıkarma işlemi için de gerekli plan kapanma kümesi ihtiyacından önce gelmektedir. k için bir ayı bulamaya ihtiyacımız vardır. Bu yüzden; 1 2 = k Mısırlılar kesirleri paydası 1 olacak şekilde sınırlandırmışlardır.Romalılar subunitlerin yerine kesirleri kullanmaktan kaçınmışlardır.Ayakları zerrelere (baş parmak) ve libreleri de ounclara bölmüşlerdir. (pound: 454 - ounc: 28,3) ve Romalıların biriminin 12. parçası uncle olarak adlandırılır. Buna rağmen, insanlar hesaplamalarda daha pratik bir kesinlik sağlamaya ihtiyaç duymuşlar ve bölme işlemindeki teoriksel kapanma gereksinmiştir. Z kümesindeki tam sayılarda, bazı bölme işlemleri olanaklıdır. Buna rağmen, bazıları değilidir. Rasyonel sayılarBir rasyonel sayı; iki tam sayının kendi aralarında oranı gibi ifade edilebilen gerçek bir sayıdır. Genellikle a / b şeklinde yazılır ve payda (b) sıfıra eşit değildir.Rasyonel ayılar genellikle kesirler olarak adlandırılır. Kesirlerin ondalık basamağında olan 0-9 arasındaki genişlemeleri sınırlı ya da periyodiktir. Bütün rasyonel sayılar kümesi Q ile gösterilir. Genellikle büyük ve kalın simgeyle gösterilir. Rasyonel olmayan gerçek sayılar irrasyonel olarak adlandırılır.Rasyonel Sayıların İnşasıMatematiksel olarak; tam sayı çiftlerinin düzenli olarak tanımlandığı sayılar sıfıra eşit değildir. Bu çiftleri toplama ve çıkarma altında takip eden şu kurallara göre tanımlayabiliriz.1. (a,b) + (c,d) = (a x d + b x c , b x d )(a,b) x (c,d) = (a x c, b x d)Bizim beklentimize uygun 2/4 = 1/2 eşitliğini denklik ilişkisi olarak tanımlayabiliriz. (a, b)  (c,d)  a x d = b x cbu denklik ilişkisi toplama ve çarpma üzerinde uyumlu olarak tanımlanır. Q’ u bölüm kümesi olarak tanımlayabiliriz. Denklik İlişkisi(a,b) ve (c,d) iki kesir olsun. Eğer ad = bc ise (c,d) kesrine denktir denir.(a,b)  (c,d) biçiminde gösterilir. (a,b)  (c,d)  ad = bcörnek (1,2) ve (3,6) elemanlarından her ikisi de kesirdir. 1.6 = 2.3 olduğundan (1,2) kesri (3,6) kesrine denktir. Denklik Sınıfı(a.b) kesrinin elemanına denk olan elemanlarının kümesi yani (a,b)’ nin denklik sınıfı ( ) ile gösterilir. Örnek: ( ) = {....., (-2,-4).(-1,-2),(1,2),(2,4).......} = {(x,2x): x  Z ve x  0}’ dır.Rasyonel Sayılar Ve Kesirlera , b  Z ve şeklinde (b  0) ifade edilen sayılar kesirler olarak adlandırılır. b burada bütünü temsil ediyor a ise parçayı temsil ediyor.Rasyonel Sayıa , b  Z ve şeklinde (b  0) ve a , b aralarında asal olmalıdır. Bu şekildeki sayılara rasyonel sayı denir. Rasyonel sayılar denklik sınıflarından oluşmuştur. biçimdeki en sade şekli bu denklik bağıntısını temsil eder. Mesela ; ( ) = {........., ,......... }Denklik sınıfında bulunan bütün elemanlar kesirdir. temsili kesir ve bu denklik sınıfını temsil ettiği için rasyonel sayıdır. Rasyonel sayılar denklik sınıflarından oluşmuştur.Önemli Notlar  verilmiş ve c  0 ‘ dır. Görüyoruz ki biz b  0 ya da d  0 diye bir açıklama kullanmıyoruz. Çünkü kesirli olmanın şartı paydanın sıfıra eşit olmamasıdır.Rasyonel sayılar genellikle kesirler olarak adlandırılır. kesirlerin ondalık basamağında bulunan sayıların genişlemeleri sınırlı ya da periyodiktir. = 1,66666...., =0,142857142, = 0,5Sonuç OlarakRasyonel sayılar düzenli olarak yoğun bir kümedir. Herhangi iki rasyonel sayı arasında diğer bir rasyonel sayı vardır. Aslında sayılamaz çoklukta rasyonel sayı vardır.Rasyonel sayılar bölgesel sıklığın olmadığı alanın bir örneğidir
Bu alan tamamen bağlantısızdır. Rasyonel sayılar tamamlanıyor ve Reel sayılar da rasyonel sayıların tamamlayıcısıdır. Rasyonel olmayan Reel sayılara İrrasyonel sayılar denir. Rasyonel sayılar Reel sayıların alt kümesidir.

RASYONEL SAYILAR

A. TANIM
a ve b tam sayı, b ¹ 0 olmak üzere, şeklinde ifade edilen sayılara rasyonel sayı veya kesir denir.

*
B. KESİR ÇEŞİTLERİ
1. Basit Kesir
İşaretine bakılmaksızın payı paydasından küçük olan kesirlere basit kesir denir.
*

*

*
2. Bileşik Kesir
İşaretine bakılmaksızın payı paydasından küçük olmayan (büyük veya eşit olan) kesirlere bileşik kesir denir.
*

*

*
3. Tam Sayılı Kesir
Herhangi bir sayma sayısı ile birlikte yazılabilen kesirlere tam sayılı kesir denir.
*
birer tam sayılı kesirdir.
*
*
Her bileşik kesir bir tam sayılı kesir biçiminde yazılabilir.
*

*
*
C. RASYONEL SAYILARDA İŞLEMLER

1. Genişletme ve Sadeleştirme
k ¹ 0 olmak üzere,

*
2. Toplama - Çıkarma
Toplama ve çıkarma işleminde payda eşitlenecek biçimde kesirler genişletilir ya da sadeleştirilir. Oluşan kesirlerin payları toplanır (ya da çıkarılır) ortak payda alınır.

*
3. Çarpma - Bölme

*
4. İşlem Önceliği
Toplama, çıkarma, çarpma, bölme ve üs alma işlemlerinden bir kaçının birlikte bulunduğu rasyonel sayılarda işlemler, aşağıdaki sıraya göre yapılır.
1) Parantezler ve kesir çizgisi işleme yön verir.
2) Üslü işlemler varsa sonuçlandırılır.
3) Çarpma - bölme yapılır.
4) Toplama - çıkarma yapılır.
*

Toplama ile çıkarma ve çarpma ile bölme kendi arasında öncelik taşımaz. Özellikle çarpma ile bölmede öncelik söz konusu ise bu, parantezle belirlenir.
*
*
D. ONDALIK KESİR
1. Ondalık Kesir
Bir rasyonel sayının payını paydasına böldüğümüzde bu rasyonel sayının ondalık açılımını buluruz. Bu ondalık açılıma ondalık kesir denir.
*

*
Burada a ya tam kısım, bcd ye de ondalıklı kısım denir.
*
*
2. Devirli (Periyodik) Ondalık Kesir
Bir ondalık kesirde ondalıklı kısım belli bir kurala göre tekrarlanıyorsa bu sayıya devirli ondalık kesir denir.
Devreden kısım üzerine (—) işareti konulur.

*
3. Ondalık Sayılarda İşlemler
a. Toplama - Çıkarma:* Ondalık kesirler toplanırken, virgüller alt alta gelecek şekilde yazılır ve doğal sayılarda toplama - çıkarma işleminde olduğu gibi toplama - çıkarma işlemi yapılır. Sonuç, virgüllerin hizasından virgülle ayrılır.
b. Çarpma:* Ondalık kesirlerin çarpımı yapılırken, virgül yokmuş gibi çarpma işlemi yapılır. Sonuç, çarpılan sayıların virgülden sonraki basamak sayılarının toplamı kadar, sağdan sola doğru virgülle ayrılır.
c. Bölme:* Ondalık kesirlerin bölme işlemi yapılırken, bölen virgülden kurtulacak biçimde 10 un kuvveti ile çarpılır. Bölünen de aynı 10 un kuvveti ile çarpılarak normal bölme işlemi yapılır.
*
4. Devirli Ondalıklı Sayının Rasyonel* Sayıya Dönüştürülmesi

*

Devreden 9 ise bir önceki rakam 1 artırılır.

*
E. RASYONEL SAYILARDA SIRALAMA
Pozitif kesirlerde sıralama yapılırken aşağıdaki yollardan biri kullanılır.

I. Yol:
Paydaları eşit olan (eşitlenen) kesirlerden payı en büyük olan diğerlerinden daha büyüktür.

II. Yol:
Payları eşit olan (eşitlenen) kesirlerden paydası en küçük olan diğerlerinden daha büyüktür.

III. Yol:
Payı ile paydası arasındaki farkı eşit olan, basit kesirlerde, payı en büyük olan diğerlerinden daha büyüktür.
*
Payı ile paydası arasındaki farkı eşit olan, bileşik kesirlerde, payı en büyük olan diğerlerinden daha küçüktür.
Yukarıda verilen yöntemler pozitif kesirlerde geçerlidir. Negatif kesirlerde ise durum tersinedir.
*
F. İKİ RASYONEL SAYI ARASINDAKİ SAYILAR
arasında sayılamıyacak çoklukta rasyonel sayı vardır.

Bunlardan bazılarını bulmak için b ile d nin OKEK i bulunur. Verilen kesirlerin paydaları bulunan OKEK inde eşitlenir. İstenen koşuldaki sayıyı bulmak için kesirler genişletilebilir.

Ü* kesirlerinin ortasındaki bir sayı ise,

****